Logika Proposisi Atau Pernyataan Logika

Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements). Proposisi merupakan Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Logika proposisi biasa disebut juga dengan istilah logika matematika atau logika deduktif yang biasanya berisi pernyataan pernyatan baik tunggal maupun pernyataan gabungan. Setiap proposisi pasti merupakan pernyataan (statement). Tetapi tidak semua pernyataan yang merupakan proposisi. Ciri dari proposisi itu adalah terletak pada nilai kebenarannya. Jika sebuah pernyataan belum tentu nilai kebenaranya biasanya disebut dengan kalimat terbuka. Untuk lebih memahaminya bisa kita lihat permainan atau pernyataan berikut.

Ada sebuah kalimat : “Kerbau lebih besar dari pada kambing”.  Pertanyaannya adalah apakah kalimat tersebut merupakan sebuah pernyataan? Jawabannya adalah “Iya”. Apakah kalimat tersebut merupakan proposisi? Jawabannya adalah “Iya” karena pernyataan tersebut mempunyai nilai benar atau salah. Pertanyaan selanjutnya adalah apakah nilai kebenaran dari proposisi tersebut? Jawabannya adalah nilai kebenaran dari proposisi tersebut adalah “benar”.

Ada sebuah kalimat sebagai berikut: “ 15 < -25 “. Pertanyaannya adalah apakah kalimat ini sebuah pernyataan? Jawabannya adalah ‘Iya”. Apakah kalimat ini merupakan kalimat proposisi? Jawabannya adalah “Iya” karena mengandung nilai benar atau salah. Apakah nilai kebenaran dari pernyataan di atas? Nilai kebenarannya adalah “Salah”

Ada sebuah kalimat sebagai berikut: “Kalau sudah ngantuk kalian tidur saja”. Apakah ini sebuah pernyataan? Jawabanya tentu “tidak”. Apakah ini sebuah proposisi? Tentu jawabannya juga “tidak” karena hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi (tidak punya nilai benar atau salah). Tidak semua kalimat yang bisa menjadi proposisi. Kalimat kalimat berikut tidak bisa dijadikan sebuah proposisi:

1.      Kalimat perintah

2.      Kalimat harapan

3.      Kalimat pertanyaan

4.      Kalimat keheranan

Lalu kalimat apa yang bisa menjadi proposisi? Kalau kita lihat contoh kalimat yang ada di atas (dua yang pertama) dapat kita simpulkan bahwa proposi berupa kalimat berita. Berikut ini adalah beberapa contoh dari proposisi.

1.      Bilangan biner adalah bilangan radix 10

2.      3 + 7 < 12

3.      Ada air di matahari

4.      Habibi adalah mantan presiden Indonesia

Read More

Mengenal Matematika Diskrit Atau Matematika Informatika

Dahulu namanya Matematika Diskrit sekarang namanya matematika informatika. Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika Diskrit itu adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mengkaji objek-objek yang bersifat diskrit (diskontinyu). Mengapa kita perlu belajar matematika diskrit ?

1.   Komputer (digital) beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil yg disebut bit (binary digit).

2.  Dengan demikian, baik struktur (rangkaian) dan juga operasi (eksekusi algoritma) komputer dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep matematika diskrit

Kalau begitu apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete) itu? Benda disebut diskrit jika: Terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda, atau elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected).

Contoh: himpunan bilangan bulat (integer) dimana antara satu bilangan dengan bilangan yang lainnya masing-masing berdiri sendiri atau tidak ada hubungannya

Lawan kata diskrit : Kontinyu atau terus menerus (continuous).

Contoh: himpunan bilangan riil (real)

Berikut ini adalah perbandingan antara bentuk analog dan bentuk diskrit (Analog versus diskrit)

Analog

Diskrit

Bentuk diskrit yang berbeda atau lainnya dapat dilihat pada gambar berikut.

Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit. Kamera digital menangkap gambar (analog) lalu direpresentasikan dalam bentuk diskrit berupa kumpulan pixel atau grid. Setiap pixel adalah elemen diskrit dari sebuah gambar.

Topik-topik yang dibahas atau dipelajari dalam matematika diskrit:

1.      Logika (logic) dan penalaran

2.      Teori Himpunan(set)

3.      Matriks (matrice)

4.      Relasi dan Fungsi (relation and function)

5.      Induksi Matematik(mathematical induction)

6.      Algoritma(algorithms)

7.      Teori Bilangan Bulat(integers)

8.      Barisan dan Deret(sequences and series)

9.      Teori Grup dan Ring (group and ring)

10.  Aljabar Boolean(Boolean algebra)

11.  Kombinatorial (combinatorics)

12.  Teori Peluang Diskrit (discrete probability)

13.  Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens

14.  Teori Graf (graph–included tree)

15.  Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity)

16.  Otomata & Teori Bahasa Formal(automata and formal language theory)

Struktur diskrit: struktur matematika abstrak yang digunakan untuk menyajikan objek dan relasi antar objek. Yang termasuk struktur diskrit:

1. Himpunan

2. Relasi

3. Permutasi dan kombinasi

4. Graf

5. Pohon

6. Finite-state machine

Mengapa Mempelajari Matematika Diskrit? Ada beberapa alasan:

1.      Mengajarkan mahasiswa untuk berpikir secara matematis

–     mengerti argumen matematika

–     mampu membuat argumen matematika.

2. Matematika diskrit memberikan landasan matematis untuk kuliah-kuliah lain di informatika.

–    algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.

Matematika diskrit adalah matematika yang khas informatika Karena itu sering juga orang bilang Matematikanya orang Informatika. Tujuan (Goal) Kuliah Matematika Diskrit adalah:

1.      Penalaran matematika (Mathematical reasoning)

Mampu membaca dan membentuk argumen matematika

(Materi: logika)

2.      Analisis kombinatorial (Combinatorial analysis)

Mampu menghitung atau mengenumerasi objek-objek

(materi: kombinatorial àpermutasi, kombinasi, dll)

3.      Sruktur diskrit

Mampu bekerja dengan struktur diskrit àlihat penjelasan sebelumnya

4.      Berpikir algoritmik

Mampu memecahkan persoalan dengan menspesifikasikan algoritmanya

(Materi: pada sebagian besar kuliah matematika diskrit dan kuliah Algoritma dan Struktur Data)

5.      Aplikasi dan pemodelan

Mampu mengaplikasikan matematika diskrit pada hampir setiap area bidang studi, dan mampu memodelkan persoalan dalam rangka problem-solving skill.

(Materi: pada sebagian besar kuliah informatika)

Intinya adalah Mahasiswa informatika harus memiliki pemahaman yang kuat dalam Struktur Diskrit, agar tidak mendapat kesulitan dalam memahami kuliah-kuliah lainnya di informatika

Read More

Pengaruh Kalor dan Perubahan Suhu Pada Zat

Kalor dan suhu menyebabkan terjadinya perubahan pada suatu zat. Perubahan tersebut dapat berupa pemuaian dan bisa juga perubahan bentuk atau wujud dari zat tersebut. Pemuaian yang dialami zat juga dibedakan menjadi pemuaian panjang, pemuaian volume dan pemuaian gas. Biasanya jenis pemuaian ini bergantung pada bentuk dari zat tersebut. Misalnya jika zat tersebut berbentuk memanjang maka cendrung terjadi pemuaian panjang.

Muai Panjang

Zat padat yang bentuknya memanjang, pada umumnya akan mengalami muai panjang jika benda tersebut dipanaskan. Pertambahan panjang yang dialami benda tersebut berbanding lurus dengan pertambahan suhunya. Artinya jika suhu semakin naik, maka pemuaiannya pun akan bertambah panjang. Secara matematik pemuaian panjang ini dapat dirumuskan sebagai berikut.

           

            ΔL       = Lo . α . Δt

Karena ΔL merupakan perubahan panjang yang dialami benda (panjang akhir – panjang awal) maka panjang akhir dari benda yang memuai dapat kita hitung dengan menggunakan rumus berikut.

            L                      = Lo (1 + α . Δt)

Rumus di atas kita dapatkan dari:

            (L – Lo) = Lo . α . Δt

            L                      = Lo + Lo . α . Δt

            L                      = Lo (1 + α . Δt)

L   = panjang akhir benda dalam satuan meter

Lo = panjang mula mula dalam satuan meter

α   = koefisien muai panjang benda dalam satuan m / ^oC

Δt = perubahan suhu

Contoh soal

Sebatang aluminium panjangnya 1,5 m pada suhu 0 ^oC. Kemudian dipanaskan sampai suhu 50 ^oC. Jika koefisien muai panjang aluminium besarnya 24 . 10^-6 / ^oC, berapakah panjang aluminium tersebut setelah dipanaskan?

Penyelesaian:

Dik :

            Lo        = 1,5 m

            to         = 0 ^oC

            t           = 50 ^oC

            α          = 24 . 10^-6 / ^oC

Dit :

            L          =.....?

Jawab :

            L          = Lo (1 + α . Δt)

                        = 1,5 (1 + 24 . 10^-6 . 50)

                        = 1,5018 m

Perubahan suhu yang sama terhadap benda yang berbeda belum tentu menyebabkan pertambahan panjang yang sama. Pertambahan panjang benda ini dipengaruhi oleh koefisien muai panjang yang dimiliki oleh benda tersebut yang besarnya bisa berbeda beda. Lantas apa koefisien muai panjang itu? Secara definisi dapat dijelaskan bahwa koefisien muai panjang merupakan bilangan yang menunjukkan berapa cm atau m bertambahnya panjang tiap 1 cm atau 1 m suatu batang yang jika suhunya dinaikkan 1 derajat celcius. Semakin besar koefisien muai panjang benda semakin besar pula pertambahan panjangnya untuk tiap kenaikan suhu.

Muai Volume

Sebagaimana halnya dengan pemuaian panjang, benda juga akan mengalami pemuaian volume jika mengalami perubahan suhu. Sebagai contoh yang sangat gampang adalah ketika kita menggoreng kerupuk yang mengembang ketika dipanaskan. Pertambahan volume dari sebuah benda juga dipengaruhi oleh koefisien muai volume benda. Secara matematik dapat kita rumuskan sebagai berikut.

            ΔV       = Vo . γ . Δt

Volume akhir dari benda yang mengalami muai volume ini dapat juga kita cari dengan rumus berikut.

            V         = Vo .(1 + γ . Δt)

V  = Volume akhir benda dalam satuan m³

Vo = Volume mula mula dalam satuan m³

γ   = koefisien muai volume benda dalam satuan m³ / ^oC

Δt = perubahan suhu

                                   

Contoh soal

Sebuah silinder gelas yang isinya pada suhu 0 ^oC = 2 liter diisi penuh dengan alkohol. Jika gelas tersebut beserta isinya dipanaskan sampai suhu 40 ^oC. . Hitunglah berapa cm³ volume silinder gelas, volume alkohol dan volume alkohol yang tumpah? (α alkohol 0,001 /^oC, α gelas 9 . 10^-6 /^oC).

Penyelesaian:

Dik :

       α alkohol 0,001 /^oC,

       α gelas 9 . 10^-6 /^oC

       V gelas mula mula 2 liter

       t awal 0 ^oC

       t akhir 40^oC

Dit :

a.       Volume silinder gelas?

b.      Volume alkohol ?

c.       Volume alkohol yang tumpah ?

      

Jawab :

a.       Volume silinder gelas

                        V         = Vo .(1 + γ . Δt)

                                    = 2 (1 + 3 α .40)

                                    = 2 (1 + 27 . 10^-6 .40)

                                    = 2,00216 liter

                                    = 2002,16 cm³

b.      Volume alkohol

                        V         = Vo .(1 + γ . Δt)

                                    = 2 (1 + 0,001.40)

                                    = 2 (1 + 0,040)

                                    = 2,08 liter

                                    = 2080 cm³

c.       Volume alkohol yang tumpah

                        Valkohol – Vgelas

                        2080 cm³ - 2002,16 cm³

                        77,84 cm³

 Koefisien muai volume atau ruang suatu benda merupakan bilangan yang menunjukkan pertambahan volume 1 cm³ zat tersebut apabila dipanaskan 1 ^oC. Untuk zat pada berlaku ketentuan 1 γ (dibaca gama) sama dengan 3 α (dibaca alpha). Sebagaimana dengan zat padat zat cair juga mengalami muai volume ketika dipanaskan. Perhitungannyapun sama saja dengan rumus muai volume di atas, yang membedakan adalah γ zat cairnya saja. Jadi kalau kita tuliskan rumusnya menjadi seperti berikut.

       V    = Vo .(1 + γ_c . Δt)              

Koefisien muai volume atau ruang suatu zat cair merupakan bilangan yang menunjukkan pertambahan volume 1 cm³ zat cair tersebut apabila dipanaskan 1 ^oC

Anomali air

Khusus untuk air, apabila suhunya diturunkan atau didinginkan maka volumenya akan bekurang secara teratur sampai suhu 4 ^oC. Jika suhunya semakin diturunkan maka volume nya akan naik lagi dan pada 0 ^oC akan terjadi pembekuan (membeku). Jika terus didinginka volumenya akan tetap bertambah besar. Sebagai contoh mungkin kita pernah melihat batu Es yang membengkak ketika telah menjadi Es, karena itu ketika membuat Es disarankan wadahnya tidak terlalu penuh.

Pemuaian Gas

Jika suatu gas dipanaskan dengan tekanan yang tetap, maka gas tersebut akan mengalami pemuaian volume (bertambah volumenya). Pertambahan volume suatu gas dapat dirumuskan sebagai berikut.

            ΔV       = Vo . β . Δt

Karena β merupakan koefisien muai volume gas yang nilainya tetap untuk semua gas yaitu sebesar 1/273, mak rumus di atas dapat kita ubah menjadi sebagai berikut.

            ΔV       = Vo . (1/273) . Δt   atau ΔV   = (Vo . Δt) / 273

Contoh soal

Sejumlah gas oksigen dipanaskan hinga suhu 75^oC. Jika mula mula terdapat  2 liter gas pada suhu 15 ^oC, berapkah pertambahan volumenya?

Penyelesaian:

Dik :

            Vo        = 2 liter

            To        = 15 ^oC

            T          = 75^oC

Dit :

            Pertambahan volume (ΔV) ?

Jawab :

            ΔV       = Vo . (1/273) . Δt

                        = 2 .60/273

                        = 120/273

                        = 0,44 liter

Read More

Pengertian Kalor dan Asas Black

Kalor merupakan bentuk energi yang dipindahkan karena adanya perbedaan temperatur atau suhu. Kalor biasanya diberi satuan dengan kalori. dimana 1 kalori sama dengan 4,18 joule. Besarnya kalor dipengaruhi massa zat, kalor jenis zat dan besarnya perubahan suhu. Artinya semakin besar massa zat, kalor jenis dan perubahan suhu semakin besar pula kalor yang ditimbulkan. Untuk mengukur kalor diperlukan alat yang disebut kalorimeter (lihat id.wikipedia.org/wiki/Kalorimeter). Secara matematik besarnya kalor dapat dirumuskan sebagai berikut:

            Q   = m.c.Δt

dimana :

Q = besarnya kalor dalam kalori atau kilo kalori

m = massa benda dalam gram atau kilogram

c   = kalor jenis zat dalam kal/gram ^oC atau kkal/kg ^oC

Δt = perubahan suhu dalam ^oC

Pada kenyataanya untuk menaikkan suhu 1 ^oC dari benda benda yang bermassa sama diperlukan jumlah kalor yang berbeda beda. Hal ini disebakan masing-masing benda tersebut memiliki kalor jenis yang berbeda beda. Kalor jenis adalah bilangan yang menunjukkan berapa kalori panas (kalor) yang diperlukan untuk menaikkan suhu tiap satuan massa zat sebesar 1 derajat celcius. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.

            c          = Q/ (m. Δt)

Selain kalor jenis dikenal juga istilah kapasitas kalor atau kapasitas panas. Kapasitas kalor ini merupakan bilangan yang menunjukkan jumlah kalor yang diserap oleh suatu zat untuk menaikkan suhunya satu derajat. Secara matematik dapat kita tuliskan sebagai berikut.

            C         = m.c

Pada rumus di atas dapat kita lihat bahwa kapasitas kalor itu merupakan hasil perkalian antara massa zat dengan kalor jenis zat. Dengan demikian persamaan kalor bisa juga kita tuliskan sebagai berikut.

             Q   = C.Δt

Dimana C merupakan kapasitas kalor dalam satuan kal/^oC

Contoh soal

Berpakah kalor yang dibutuhkan untuk memanaskan air yang volumenya 250 cm³ dari suhu 20^oC menjadi 35^oC? (kalor jenis air = 1 kal/gr ^oC)

Penyelesaian :

Dik :

            ρ          = 1 gr/cm³

            c air     = 1 kal/gr ^oC

            Δt        = 35 – 20 = 15 ^oC

            V         = 250 cm³

Dit :

            Q         = ..?

Jawab :

            Q         = m.c.Δt

           

Karena massa (m) air belum diketahui, maka harus dicari dulu dengan cara berikut.

m = V. ρ

                        = 250. 1

                        = 250 gram

            Q         = 250 . 1. 15

                        = 3750 kalori

Jadi panas yang dibutuhkan untuk menaikkan suhu air tersebut sebesar 3750 kalori.

Asas Black

Menurut pengamatan Black tentang perubahan kalor ini menyatakan “jika dua macam zat yang berbeda suhunya dicampurkan (disentuhkan), maka zat yang suhunya lebih tinggi akan melepaskan kalor atau panas yang sama dengan banyaknya panas atau kalor yang diserap oleh zat yang suhunya lebih rendah. Peryataannya ini dinyatakan dengan rumus matematik sebagai berikut.

            Q_P        = Q_S

Dimana :

            Q_P        = kalor yang dilepas

            Q_S        = kalor yang diserap

Contoh soal

Air yang sedang mendidih ( 100 ^oC ) dengan massa 1 kg dituangkan ke dalam bejana logam yang terbuat dari aluminium yang massanya 2 kg. Setelah tercapai keseimbangan temperatur akhir menjadi 75 ^oC. Berapakah temperatur mula – mula bejana tersebut? (c aluminium = 0,21 kal/gram ^oC).

Penyelesaian

Dik :

            m aluminium   = 2 kg  = 2000 gram

            m air                = 1 kg` = 1000 gram

Dit :

            Suhu awal aluminium (t) =..?

Jawab :

            Q serap            = Q lepas

            Q alm                          = Q air

            (m.c. Δt)alm                = (m.c. Δt)air

            2000 . 0,21 . (75 – t)   = 1000 . 1. (100 – 75)

            420 ( 75 – t )               = 1000 . 25

            31500 – 420t               = 25000

                        420t                 = 31500 – 25000

                                       t        = 6500 / 420

                                       t        = 15, 48 ^oC

Read More

Suhu dan Termometer

Suhu merupakan ukuran derajat panas suatu benda atau istilah yang digunakan untuk membedakan panas dinginnya suatu benda. Jika benda dalam keadaan panas biasanya dikatakan suhunya tinggi sebeliknya jika benda dalam keadaan dingin desebut suhunya rendah. Karena ukuran panas dan dingin suatu benda berbeda beda, maka diperlukan suatu alat ukur yang dapat menyamakan tingkat panas atau dinginnya benda itu. Alat yang digunakan untuk mengukur suhu ini biasanya dinamakan dengan termometer. Kenapa kita perlu alat termoeter dalam mengukur suhu benda? Jelas jawabannya adalah untuk menyamakan ukuran derajat panas benda antara pengukur yang satu dengan yang lainnya. Maksudnya adalah jika kita mengukur panas suatu benda (misalnya air) menggunakan tangan, maka mungkin saja berbeda kesimpulan yang kita berikan dengan orang lain yang mengukur panas benda yang sama dengan tangan mereka. Agar benda yang sama dalam waktu yang sama terukur denga suhu yang sama diperlukan alat ukur yang terstandar.

Dalam prakteknya termometer ini dikenal beberapa macam. Jika dilihat dari skala yang digunakan kita mengenal termometer celcius, reamur, fahreinheit dan kelvin. Perbandingan skala dari termometer tersebut dapat dilihat pada gambar berikut.

Umumnya termometer termometer yang ada menggunakan larutan air raksa sebagai penunjuk skalanya dikarenakan air raksa mempunyai sifat sifat sebagai berikut.

1.      Mengkilap sehingga mudah dilihat

2.      Pemuaiannya teratur

3.      Tak membasahi dinding

4.      Daerah atau rentang ukurnya besar yaitu mulai dari -39^o C (titik beku) sampai 357^o C.

5.      Penghantar panas yang baik

6.      Panas jenisnya kecil sehingga hanya menyerap panas sedikit untuk menaikkan suhunya

Hubungan pengukuran dari celcius, reamur, fahrenheit dan kelvin dapat kita nyatakan dalam persamaan matematik sebagai berikut:

a.       Hubungan antara termometer celcius dan reamur

Mengubah derajat celcius ke reamur

              T^oR = 4/5 . T^oC      

              Contoh soal

Diketahui suhu sebuah ruangan terukur 30^oC, berapakah suhu ruangan tersebu jika diukur menggunakan termometer reamur?

Penyelesaian :

Dik :

       T     = 30^o C

Dit :

       R    =...?

Jawab :

T^oR = 4/5 . T^oC

       = 4/5 . 30

       = 24^oR

Mengubah derajat reamur ke celcius

                        T^oC      = 5/4 . T^oR

Diketahui suhu ruangan terukur 24^oR, berapakah suhu ruangan jika diukur menggunakan termometer celcius?

Penyelesaian:

Dik :

       T     = 24^o R

Dit :

       C    =...?

Jawab :

T^oC = 4/5 . T^oR

       = 4/5 . 24

       = 30^oC

b.      Hubungan antara fahrenheit dengan celcius

Mengubah derajat celcius ke derajat fahrenheit

T^oF = (9/5 . T^oC) + 32

Contoh soal
diketahui sebuah ruangan terukur 30^o C, berapakah suhu tersebut jika diukur menggunakan termometer fahreinheit?

Penyelesaian

Dik :

        T     = 30^o C

Dit :

        F     =...?

Jawab :

T^oF = (9/5 . T^oC) + 32

        = (9/5 . 30) + 32

        = 54 + 32

        = 86^oF

Mengubah derajat fahrenheit ke derajat celcius

T^oC  = 5/9.( T^oF - 32)

Contoh soal
diketahui sebuah ruangan terukur 86^o F, berapakah suhu tersebut jika diukur menggunakan termometer celcius?

Penyelesaian

Dik :

        T     = 86^o F

Dit :

        T^o C       =...?

Jawab :

T^oC = 5/9 .( T^oF – 32 )

        = 5/9 .( 86 – 32 )

        = 5/9 . 54

        = 30^oC

c.       Hubungan antara celcius dengan kelvin

Mengubah derajat celcius ke derajat kelvin

T^oK = T^oC + 273

Contoh soal

Suatu ruangan suhunya terukur 27^oC, berapa derajat kelvinkah suhu ruangan itu?

Penyelesaian:

Dik    :

          T          = 27^o C

Dit :

       T^o K=...?

Jawab :

        T^oK = T^oC + 273

       T^oK = 27 + 273

        T^oK = 300

Mengubah derajat kelvin ke derajat celcius

                        T^oC      = T^oK - 273

                       

Contoh soal

Suatu ruangan suhunya terukur 300^oK, berapa derajat celciuskah suhu ruangan itu?

Penyelesaian:

Dik    :

          T          = 300^o K

Dit :

       T^o C=...?

Jawab :

        T^oC = T^oK - 273

       T^oC = 300 - 273

       T^oK      = 27

Sesuai dengan perkembangan zaman, termometer sekarang juga semakin canggih. Kalau dahulu kita membaca suhu dengan melihat air raksa yang ada di dalam tabung termometer, sekarang kita sudah bisa melihat suhu dalam bentuk angka langsung. Termometer ini bisa kita namakan dengan termometer digital, karena memang sudah diolah dan ditampilkan secara digital.

Read More