Sistem Persamaan Linear (SPL)

Persamaan linear sering dipakai dalam proses analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Bentuk yang paling sederhana dari sistem persamaan linear adalah :

            a.x = b

dimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya.

Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik : I X R =  V

Untuk sistem linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :

                        a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁

                        a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂

Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :

  a ₁x  + a₂ y = b

Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y.

Secara umum persamaan linear dalam n peubah  x_1, x_2,………..x_n didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :

a₁ x₁ + x₂ x₂ + ….+ a_n x_n    = b

dengan   a_1, a_2, a_{3,……………..}a_n     dan b merupakan konstanta bilangan riil

contoh : manakah yang termasuk persamaan linear dari persamaan persamaan berikut ini :

• a.       X + 3y  = 7
• b.      X + 3 y² = 7
• c.       3x + 2y  - z + xz  = 4
• d.      Y = ½ x  + 3z + 1
• e.       Y – sin x = 0
• f.         + 2x_{2 +}+ x₃ =1

Jawab:

Persamaan a dan d termasuk persamaan linear

Persamaan b bukan persamaan linear sebab terdapat variable berpangkat 2

Persamaan c bukan persamaan linear  karema melibatkan perkalian peubah

Persamaan e bukan perssaan linear karena terdapat bentuk sinus yang termasuk fungsi trigonometri

Persamaan f bukan persamaan linear karena melibatkan akar peubah

B. sistem Persamaan Linear

Sebuah himpunan berhingga dari persaan persamaan linear adalah peubah x_1, x_2, x_3……..x_n dinamakan system persamaan linear atau system linear

Contoh :

4x₁ – x₂ + 3x₃ =-1

3x1 + x₂ + 9x₃ = -4

X₁ 2x₂ -3x₃ =3

 X – y =2

X + 2y = 5

Pemecahan suatu system persamaan linear adalah ukuran dari n bilangan s_1, s_2,…..s_n sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubtitusikan terhadap persamaan – persamaan dalam system linear tersebut. Himpunan semua pemecahan system persamaan linear disebut himpunan pemecahan sistem persamaan linear.

Contoh: tentukanlah solusi system persamaan linear berikut:

X -2y = 8
3x +y = 3

x₁ +2x₂ –x₃ =3
2x₁ –x₂ +3x₃ = -4
3x₁ +x₂ + x₃ = 1

Jawab:

a.       X -2y = 8

3x +y = 3

Untuk memecahkan SPL  tersebut kita gunakan cara eliminasi maupun cara subtitusi. Berikut ini akan digunakan cara eliminasi :

Jadi himpunan penyelesaian/pemecahannya adalah HP = {(2, -3)}

X₁    +  2x₂  –   x₃  = 3……………………………………     i

2x₁  –  x₂     + 3x₃ = -4…………………………………..       ii

3x₁  +  x₂       +   x₃  = 1…………………………………… iii

Untuk memecahkan SPL  terdebut digunakan cara eleminasi dari persamaan (1) dan (2) :

Untuk  x₃ = -2    :       5x₂ –5x₃  =  10

                                   5x₂ –5(-2)  =  10

                                     5x₂  + 10   =  10

                                       X₂           = 0

Untuk x₂   = 0  dan  X₃  = -2  , maka dari persamaan I didapat:

X₁ +2x₂ –x₃ =3

X₁ = 3 - 2x₂ + x₃

X₁ = 3 – 2(0) + (-2)

X₁ = 1

Jadi himppunan pemecahannya adalah : X₁ = 1,              X₂      = 0,               X₃  = -2

  

       Sistem persamaan linear 

      Suatu sistem persamaan linear mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu:

1.      Sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan

2.      Sistem persamaan linear mempunyai tak  hingga pemecahan

3.      Sistem persamaan linear mempunyai tepat satu pemecahan

Sistem persamaan linear yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan tidak konsisten atau inkonsisten

Sedangkan SPL yang mempunyai minimal satu pemecahan dinamakan konsisten.

Sebagai ilustrasi kita ambil  SPL  sebagai berikut:

a ₁x  +  b₁y = c₁

a ₂x  +  b₂y = c₂

kedua persamaan tersebut berupa garis lurusyang jika digambarkan  ada terdapat 3 kemungkinan 

yaitu:

a.       Garis l₁ // l₂ sehingga tidak ada perpotongan garis atau tidak ada titik yang dapat memenuhi kedua persamaan tersebut. Berarti system tidak mempunyai pemecahan

b.      Garis l₁ berpotongan dengan garis l₂   di satu titik gerarti system mempunayai tepat satu pemmecahan

c.       garis   l₁  berimpit  l₂  , sehingga terdapat tak hingga banyaknya pemecahan yang memenuhi kedua persamaan. Berarti system mempunyai tak hingga banyak pemecahan

contoh: bila manakah system:             a ₁x  +  b₁y = c₁

a ₂x  +  b₂y = c₂

mempunyai satu pemecahan , tak hinga banyak pemecahan dan tak punya pemecahan? Berikan  contohnya

jawab:system persamaan linear berbentuk :

a ₁x  +  b₁y = c₁                                                                   

a ₂x  +  b₂y = c₂

a.       mempunyai satu pemecahan bila :   a ₁/ a ₂   ≠  b₁ / b₂   (disebut konsisten)

contoh:    2 x + 3 y  = 8

                x  –  2 y   = -3

a.       mempunyai tak hingga banyak pemecahan bila : a₁ /a₂  =  b₁/b₂ =c₁/c₂

contoh:

-x +2y  =-3

3x -6y =9

Persamaan 3x -6y =9 jika kita bagi dengan -3 maka akan diperoleh -x +2y  =-3 yang tidak lain merupakan persamaaan yang pertama. Dan  pada gambar  ditunjukan bahwa kedua garis ini berimpit sehingga solusi SPL  tersebut adalah HP = (-~ , ~)    £ riil

a.       tidak mempunyai pemecahan jika : a₁ /a₂  =  b₁/b₂  ≠ c₁/c₂

contoh: 2x – 3y = -6

            4x – 6y   = 12

Gambar

Dari gambar ditunjukkan bahwa kedua garis tersebut sejajar artinya tidak ada satupun titik yang dapat memenuhi pertidak samaan tersebut. Jadi solusi SPL tersebut HP: (   )

Tweet

Subscribe to receive free email updates: