Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

Jika A  adalah matriks m x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1 , sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pemecahan, yakni , X = A^-1B. Untuk dapat melakukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan matrik ini, kita harus sudah menguasai materi tentang invers matrik. Contoh : diketahui SPL sebagai berikut :

x₁   + 2x₂ - 3x₃   =5

2x₁ + 5x₂ -  3x₃  = 3

x₁   +          8x₃  = 17

tentukan :

a.       Bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL  tersebut

b.      Pemecahan SPL tersebut

Jawaban :

      a.  Bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL :

x₁   + 2x₂ + 3x₃   =5

2x₁ + 5x₂ +  3x₃  = 3

x₁   +          8x₃  = 17

adalah : 

     

     b. Pemecahan untuk SPL tersebut :

A X  = B

A^-1. A. X = A^-1.B

   I.X      = A^-1.B

     X      = A^-1.B

Untuk memperoleh matriks A^-1 gunakan definisi :

A^-1 =  x Adj (A)

Minor semua unsur Aij matriks A adalah :

Kofaktor semua entri Aij adalah :

C₁₁ = -1² . 40 =40        C₁₂ = -1³ . 13 =-13       C₁₃ = -1⁴ . -5 =-5

C₂₁ = -1³ . 16 =16        C₂₂ = -1⁴ .  5   =5         C₂₃ = -1⁵ . -2 =2

C₃₁ = -1⁴ . -9  =-9         C₁₁ = -1⁵ . -3 = 3          C₁₁ = -1⁶ . 1  = 1

Matrik kofaktor A adalah :  

   

Det (A) diperoleh dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke 1 :

Sehingga diperoleh :

Matrik variabel dapat diperoleh :

Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah : X₁  = 1 ; X₂ = -1 ;  X₃ = 2

Tweet

Subscribe to receive free email updates: